Las matemáticas de la EM

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Escrito por Pablo Baizán Fernández gestor de la peña “Los Habaneros”

Introducción

La metodología de la esperanza matemática, o EM, establece una clara formulación para hallar aquellas apuestas rentables en cualquier juego de azar.

Es aplicable a multitud de casos, pero la base de su cálculo no varía. 

Para poder encontrar su valor necesitaremos dos variables, por un lado la probabilidad real de cada evento, de entre los posibles determinados por el juego, y por otro el beneficio que obtendremos dado cada uno de ellos.

Expresado en una fórmula matemática quedaría como sigue:

Así nuestras ‘x’ serán los posibles beneficios de cada suceso y ‘P’ la probabilidad de que se den en cada caso.

Ejemplo

Utilizaremos para ello, el ejemplo del lanzamiento de una moneda (habitual en la bibliografía que explica el concepto), y donde nos darían dos euros en caso de cara y perderíamos el euro apostado en caso de cruz.

Dando por hecho que ambos sucesos constan de la misma probabilidad de ocurrencia y operando de manera sencilla quedaría:

Aquí vemos que el valor del juego es neutro o justo.

Consideramos un juego como favorable para el jugador cuando el valor esperado es mayor a cero, aunque es común excluir el valor de la apuesta, con lo que un juego justo sería aquel que nos arrojase un valor igual a 1, y beneficioso para el jugador en aquellos casos en que fuese superior.

En La Quiniela, al igual que en el ejemplo, existen unas probabilidades reales y un valor esperado de retorno para cada una de las 4’7 millones de columnas posibles.

Hasta aquí podemos encontrar infinidad de literatura con el mismo ejemplo e idéntico razonamiento, pero lo que nos ocupa en este artículo, es el juego de La Quiniela.

El primer término, su probabilidad, deriva del producto de las probabilidades de los 14 signos.

Puede que alguien suponga que puede hallar una probabilidad a cada evento mejor de las arrojadas por las cuotas de las casas de apuestas, pero a día de hoy se puede decir con total rotundidad que la eficiencia del mercado es superior a cualquier otra metodología que podamos aplicar.

El mercado de cuotas de las casas de apuestas, es el más eficiente para hallar las probabilidades de cada evento

En segundo término, nos queda hallar el retorno esperado, y es precisamente aquí donde se puede encontrar valor al juego.

Había expuesto el concepto de juego justo como la suma de los términos todas las posibles combinaciones, pero es posible hallar también las jugadas que concentran un valor esperado positivo. 

En La Quiniela el cálculo aproximado de los premios finales puede realizarse mediante la formulación de la distribución binomial de Poisson, pero lo más interesante, más allá de la ecuación que presentaré, es que su cálculo se realiza exclusivamente con los porcentajes apostados por el conjunto de participantes del juego.

Queda por tanto expuesto que habrá un premio determinado por el apostante promedio que diferirá en mayor o menor medida de lo que las bookies nos están diciendo, y que sabemos cuentan con una información mejor a la de los primeros.

Ésta es la clave de la rentabilidad de La Quiniela, y la que cualquier peña que pretenda lograr el éxito debe explotar.

Pablo Baizán Fernández gestor de la peña “Los Habaneros”

Distribución estadística binomial de Poisson

La fórmula que nos indicará el número de acertantes de cada categoría se trata de una distribución estadística, la binomial de Poisson.

Lo que viene a traducirse de esta fórmula en lenguaje natural, es que deben sumarse todas las combinaciones de un espacio de n elementos considerando dos conjuntos complementarios.

Por un lado los partidos acertados, y por otro los fallados.

Típicamente 10 acertados y 4 fallados para la categoría de 10 aciertos de La Quiniela, observando que las probabilidades de cada signo representadas por p, deben multiplicarse.

Vamos a verlo más detenidamente con unas tablas para ilustrarlo.

En primer lugar presento una tabla con los porcentajes apostados por los quinielistas, en tanto por uno.

Tenemos los 14 partidos representados en cada fila, y tenemos también los porcentajes a cada signo en tres columnas.

En segundo lugar otra tabla que presenta una serie de combinaciones de unos y ceros, que representa los partidos acertados y fallados respectivamente, la combinación 1X2 que queremos analizar, y toda la serie de operaciones que deberemos efectuar para obtener el número de acertantes de la categoría, en este caso la de 10 aciertos.

Importante: Observamos en esta tabla que debemos generar todas las combinaciones existentes de ceros y unos para el espacio de 4 fallos y 10 aciertos sobre los 14 signos, efectuar la operación 1 – p según corresponda, hallar el productorio de cada combinación de aciertos y fallos, y finalmente sumar dichos productorios para hallar la probabilidad de que, dados esos porcentajes apostados, surja algún acertante de 10 aciertos.

-> Si quisiésemos convertir la probabilidad a número de acertantes, multiplicaríamos la anterior por el número de apuestas recibidas por el organismo organizador.

-> Y más aún, si finalmente quisiéramos hallar el premio para cada acertante, nos bastaría con dividir el fondo destinado a la categoría, por ese número de acertantes.

Todo lo anterior, por motivos evidentes, resulta imposible llevarlo a la práctica manualmente, y tan sólo con un ordenador podemos llevar a cabo los miles de operaciones necesarias para hallar el reparto de premios final. Incluso esto se queda pequeño si nuestro deseo es calcular una colección de cientos de miles de columnas a 1X2.

Afortunadamente el algoritmo es lo suficientemente eficiente para n de 14, y la operación de cálculo por columna es de una fracción  de milisegundo en cualquier dispositivo informático.

Aunque la binomial de Poisson nos da una buena aproximación la mayoría de las jornadas, no se trata de un escrutinio oficial, y el número de acertantes puede variar ostensiblemente en algunos casos.

Estos casos son fundamentalmente dos, el de una columna extremadamente probable, y el de una columna extraordinariamente rentable.

-> El primero de los dos es jugado con gran frecuencia por el quinielista medio

-> El segundo, el jugado por peñas que siguen la EM como piedra angular en sus pronósticos.

El segundo es el más perjudicial, ya que echa por tierra el precálculo de la jornada falseando los datos de rentabilidad que se hubieran efectuado. Columnas especialmente jugadas son aquellas que destacan por su alta probabilidad y gran rentabilidad, por lo que una jornada que resulte en estas dos características se verá notablemente penalizada.

Algunos problemas a tener en cuenta

Existe todo un campo abierto a la investigación en el ajuste del cálculo de premios considerando lo anterior, pero este no es el único contratiempo en el proceso que nos lleva a seleccionar las jugadas con valor esperado positivo.

-> También es vital dar con unos porcentajes apostados a cierre de calidad.

Ésto es importante porque sin un ajuste preciso de esos porcentajes, no estaremos calculando correctamente los premios que debemos conocer para el cálculo de la esperanza matemática (EM)

La LAE publica una vez al día la tabla de apostados recogiendo lo sucedido hasta el día inmediatamente anterior, por lo que no tendremos los datos totalmente actualizados al momento de confeccionar la jugada.

-> Además, para empeorarlo, la mayor parte de las apuestas se sellan el último día, con lo que siempre existe una cierta incertidumbre en ese aspecto.

Ultimo paso , hallar los “n”

Volviendo al cálculo de la EM, y como había comentado, ya disponemos de las dos patas de la esperanza matemática.

1- El beneficio

2- La probabilidad real

Ahora tan sólo nos queda hallar los ‘n’ términos del sumatorio de la primera fórmula del artículo.

Para una columna dada, existen 16.016 columnas a distancia 4, 2.912 a distancia 3, 364 a 2, y 28 a distancia 1. Las distancias se definen como número de signos diferentes entre dos columnas, y si hallamos todas las columnas a distancia 4 tomando una columna como origen, también estaremos encontrando todas las posibles columnas ganadoras que pueden hacer que obtengamos 10 aciertos.

Así pues las 16.016 columnas a distancia 4 serán los ‘n’ términos del sumatorio para EM10, debiendo hallar sus probabilidades reales, y sus premios calculados dados los porcentajes apostados estimados. 

Esto sería para la EM de 10 aciertos, si además repetimos la operación con el resto de categorías y sumamos todo, obtendremos la EM global para la columna.

Todo esto resulta tremendamente costoso computacionalmente, y los tiempos de cálculo, aún con un ordenador, pueden dispararse a varios días de procesamiento si lo que queremos es hallar la EM de todo el universo de columnas posibles.

Existen formulaciones alternativas que logran tiempos de cálculos muy rápido, eso si, con el inconveniente de tratarse de un cálculo aproximado.

Aquí tan sólo se presenta la expresión formal del término, pero existen herramientas gratuitas desarrolladas por otros quinielistas, que resuelven el problema de calcular una madre en un tiempo más que razonable.

Además siempre es recomendable cuantificar la apuesta con valor unitario, así el resultado de la EM quedará expresado en tanto por uno, facilitando su interpretación, y siendo obligación del quinielista jugar aquellas columnas con una EM superior a la unidad. 

-> Jugar una columna con una EM de 1’2, por ejemplo, nos dice que jugando indefinidamente esa columna en una jornada de idénticas características, estaríamos obteniendo un 20% de beneficio a largo plazo.

Conclusión

Surge entonces en la mente de cada uno, que no se puede jugar infinitas veces la misma jornada, pero obviamos que mantener el criterio límite en distintas jornadas equivale a lo primero.

De hecho una de las herramientas que pueden ayudarnos en el desarrollo de las jugadas es la simulación.

Estas simulaciones se efectúan sobre los datos de la jornada miles de veces y nos dan ciertas estadísticas de la jugada que deseamos sellar.

No se repetirá la jornada, pero si jugamos muchas veces con buenos datos en las simulaciones, estaremos validando indirectamente nuestro único intento en la vida real.

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