La maduración de la jugada

Compartir

Escrito por Pablo Baizán Fernández gestor de la peña “Los Habaneros”

La simulación

El pseudoaleatorio

Un punto de apoyo importante en el análisis de las jugadas en La Quiniela son las simulaciones mediante algoritmo Montecarlo.

El Montecarlo consiste en la ejecución de una serie de números aleatorios para componer expresiones más complejas que serían difíciles de describir de una manera analítica.

Para el caso de La Quiniela basta con lanzar un pseudoaleatorio, que es en sí mismo otro algoritmo para generar números aleatorios, con distribución uniforme, de números decimales entre 0 y 1.

Así pues, dados unos porcentajes reales, obtenidos de las cuotas implícitas de las casas de apuestas, generamos para cada partido un random o pseudoaleatorio del que siempre dispondremos en cualquier lenguaje de programación. Por poner un ejemplo, si las cuotas de un partido arrojan unos porcentajes a la victoria, empate, o derrota de 60 – 25 – 15, bastará con determinar que si el pseudoaleatorio resultante es menor de 0,60 asignaremos una victoria local; si fuese mayor de 0,60, y menor de 0,85 asignaremos un empate; y para un random mayor de 0,85 daremos el resultado como victoria visitante.

Dados los 14 resultados, obtendremos mediante este método una columna ganadora aleatoria, y si generamos suficientes columnas ganadoras, podremos obtener todo tipo de datos y estadísticas acerca de nuestra jugada, o de otros parámetros de la jornada.

La controversia en torno a los datos reales

Hay que tener en cuenta que los porcentajes que derivan de las cuotas de una o varias casas de apuestas, son siempre inciertos. Sabemos que las bookies disponen de la mejor información, y que los porcentajes derivados de las cuotas serán mejores que los obtenidos por cualquier otro método que podamos aplicar. Pero también es cierto que ni tan siquiera las bookies saben qué va a ocurrir en un partido una vez se da el pitido inicial.

Se oye a menudo entre quinielistas, que tal o cual “retoca” los porcentajes hacia un reparto que él mismo considera más cercano a la realidad, o que vuelca los porcentajes jugados a cada signo hacia un estado con el que se encuentra más cómodo. Pero la eficiencia del mercado siempre acaba por imponerse en el largo plazo.

El haz de simulaciones

A pesar de que podamos suponer que controlamos todos los parámetros de la jugada, lo cierto es que existe un componente muy importante de azar que será el que determine el estado de nuestro fondo a futuro. Podemos ser enormemente afortunados, y situarnos en grandes ganancias apenas iniciemos la temporada, o puede que la suerte nos sea esquiva, y que las pérdidas se prolonguen por un tiempo indefinido.

En estudios sobre ecología, y análisis de supervivencia de especies se suele utilizar la tasa reproductiva, y el número de individuos inicial para ver cómo evolucionará la población con el paso del tiempo. Esto mismo lo podemos aplicar a la evolución del fondo de una determinada peña para ver cuál es la esperanza de que el fondo en cuestión crezca en el tiempo. Para ello se lanzan cientos o miles de simulaciones, componiendo un haz de líneas que describirán todos los posibles desenlaces inherentes al propio azar.

En un artículo anterior en esta web, había explicado el algoritmo de estimación de premios a partir de los porcentajes de participación en el juego y la recaudación de la jornada. Si podemos estimar los premios, y podemos simular toda una serie de columnas ganadoras con los datos “reales”, podemos describir también un histórico de nuestro fondo, que reproduciremos cientos de veces para observar todo el abanico de posibles estados que éste puede adoptar de acuerdo a la simple suerte.

En la siguiente imagen he realizado un total de 100 simulaciones durante un periodo de 600 jornadas (lo que vienen a ser 10 temporadas) para analizar una jugada real que se selló para la jornada 33 de La Quiniela, en la temporada 2022/23. Se trata de una jugada discreta de algo más de 300 columnas, pero sirve a modo de ejemplo.

Como dato adicional, avanzo que el número de simulaciones que en cada instante se encuentra por encima del eje horizontal ó 0€, es decir, en beneficios, crece a medida que avanzan las jornadas. Lo que es característico de jugadas con un valor esperado positivo (EV+) o EM positiva.

Sin embargo, observemos ahora qué ocurre con una jugada de un tamaño superior.

Para esta serie de simulaciones he usado una jugada de un tamaño de 10.000 columnas generadas con idéntico sistema y método de ordenación que la anterior jugada. Tan sólo difiere en el stake.

Podemos observar en la gráfica cómo las líneas en su ascenso son mucho más regulares, pero sobre todo y más importante, que en un plazo equivalente de 10 temporadas, el número de simulaciones por encima de la barrera de la rentabilidad es muchísimo mayor.

El motivo es que hemos reducido la varianza a la que está sujeta toda jugada. O dicho de otra manera, hemos reducido el margen que se lleva el azar en la evolución de las apuestas, y que resulta determinante a la hora de elegir en qué peña queremos invertir nuestro dinero. En jugadas de tamaño superior, y siempre suponiendo que el gestor utilice un sistema basado en la esperanza matemática, se puede observar que la jugada gana en dos aspectos principalmente. Por un lado, se incrementa la probabilidad de rentabilizar en una jornada en concreto, pero por otro, también se acortan sensiblemente los tiempos de maduración, o tiempo necesario para que la jugada adquiera unas buenas garantías de encontrarse en beneficios.

Por tanto, la misma inversión está a mucho mejor recaudo en una peña pro EM de dimensiones de varios miles de columnas por jornada, que en otra de tamaño pequeño o mediano. Aún con la suposición de que en caso de premios altos el importe correspondiente a la participación es mayor en la de tamaño inferior. Recalco de nuevo que en ambos ejemplos he usado exactamente los mismos criterios para la selección de columnas.

La simulación como herramienta

El problema analítico

Supongamos que nos retan a un juego. En él existen tres cajas idénticas, de las que únicamente una contiene un premio de 5€. Además, nos dicen que el coste de cada intento nos costará 1€.

Por la fórmula de la esperanza matemática advertimos que el juego es favorable para el jugador, por lo que decidimos participar.

Aquí la cuestión que puede plantearse es en cuántas tiradas podríamos garantizar ganancias. Ésta suele ser una característica importante en el atractivo que presenta una determinada inversión.

El árbol de decisión

En la imagen anterior se muestra el árbol de decisión, que no es más que el desarrollo de todas las posibles combinaciones en el tiempo para dos tiradas. En blanco se muestran las no rentables, y en azul aquellas en las que acumulamos un balance positivo.

Vemos en el desarrollo que las probabilidades en cada nivel, o tirada, deben multiplicarse. Esa es la probabilidad de llegar a ese estado concreto de entre los múltiples caminos que podemos tomar.

Sin embargo, para medir el estado del fondo en cada momento, debemos sumar los premios y restar el gasto de todos los nodos precedentes siguiendo las aristas en orden inverso.

Ahora, si quisiéramos saber cuál es nuestra probabilidad de estar en positivo en cada tirada, deberíamos sumar las probabilidades de los nodos de cada nivel en los que el balance arroja un valor superior a 0€. Así, para el primer nivel, o primera tirada, nuestra probabilidad de encontrarnos en beneficios es del 33,33% lo que en principio es trivial. Sin embargo, para la segunda jugada debemos realizar la suma de todos los nodos positivos contenidos en la línea horizontal, que representa todo el universo de posibilidades para el espacio de 2 tiradas. En total 5 nodos, para dar una probabilidad de 5/9, o lo que es lo mismo, 55,55% de probabilidad de estar en beneficios.

La complejidad del algoritmo

Por si hubiera pasado inadvertido, la complejidad de este algoritmo es potencial, lo que se considera en ciencias de la información, un problema NP, o no computable.

Veamos este problema en términos de La Quiniela.

En el juego organizado por SELAE, existen 19.321 columnas posibles a distancias de 0 a 4 de la columna en estudio. Esas son todas las columnas posibles que harían obtener un premio a nuestra combinación de 14 signos. Son en total 19.321 nodos más otro adicional que sería aquel en que no alcanzaríamos categoría de premio. Eso nos da una base de 19.322, que deberíamos elevar a la potencia de la jornada de desarrollo en la que nos encontramos en cada instante.

Voy a expresarlo de otra forma, deberíamos elevar 19.322 a la potencia de 600 para saber la probabilidad de estar en beneficios pasadas 10 temporadas, más todos los nodos precedentes resultado de elevar esa base a la potencia de cada una de las jornadas anteriores. Ésto por motivos que ahora parecen evidentes, es inmanejable aún para una computadora.

La simulación como solución

Para resolver este problema tenemos una vía que es la simulación, de la que he hablado al principio de este artículo.

Retomando el ejemplo de las tres cajas. Programé en JavaScript un trozo muy simple de código que muestro a continuación.

function SIMULAR_CAJAS(veces, longitud, premio, coste) {
  var contador = 0;
  //Repetimos la simulación del estado tras varias jugadas n veces
  for(var i = 0; i < veces; i++) {
    //Creamos un balance virtual para guardar el estado del fondo
    var balance = 0.0;
    //Lanzamos aleatorios durante varios intentos consecutivos por cada simulación
    for(var j = 0; j < longitud; j++) {
      //Creamos el pseudo aleatorio
      var r = Math.random();
      //Decidimos a un tercio de probabilidad, acertar con la caja premiada
      if(r < 1.0 / 3.0) {
        //Si acertamos, añadimos el premio, y restamos el precio de la jugada
        balance += (premio – coste);
      }
      else {
        //Si no acertamos, restamos el precio de la jugada
        balance += (-coste);
      }
    }
    //Contamos el número de veces en que el balance es positivo
    if(balance > 0.0) {
      contador++;
    }
  }
  //Retornamos la probabilidad de estar en balance positivo
  return contador / veces;
}

 Si prescindimos de las líneas comentadas (aquellas que comienzan por doble barra), tendremos un código extremadamente sencillo que cualquiera con conocimientos rudimentarios de programación puede entender. En todo caso no es imprescindible tener conocimientos de programación para intuir lo que se ejecuta leyendo las líneas de comentario.

Trabajando con Google Sheets

El anterior pedazo de código puede incluirse en el apartado de Apps Script de las hojas de cálculo de Google para tener una función personalizada invocable desde la propia hoja de cálculo. Para simplificar la comprensión de esta parte del artículo, diré simplemente que he utilizado ese código para simular la evolución de la probabilidad de rentabilizar las jugadas en cada instante.

Lo muestro mejor en la siguiente captura.

Google Sheets es una herramienta muy similar al tradicional Excel salvando obviamente las múltiples diferencias que las separan, pero para aquel que esté familiarizado con las tradicionales hojas de cálculo, la imagen de la planilla resultará menos árida que el código previo.

En la primera columna he puesto el número de simulaciones. En la segunda, la longitud, que es el número de tiradas en nuestro juego de las cajas. Posteriormente he situado el premio obtenido y el coste, para terminar con la columna que contiene la llamada a la función escrita en JavaScript.

Veremos que, con cada tirada, la probabilidad de encontrarnos en beneficio aumenta con el tiempo hasta alcanzar la asíntota del 100%. Con asíntota me refiero a que matemáticamente nunca alcanzaremos el 100% de encontrarnos en positivo, ya que existe una probabilidad ínfima de no lograr salir beneficiados, aunque juguemos indefinidamente.

Como ejercicio, para el que esté acostumbrado a programar sus propias funciones en Google Sheets, se puede probar a incorporar el código, y a jugar con distintos valores de premio y coste. Se observará entonces que el incremento hasta la unidad de la probabilidad de rentabilizar todas las tiradas sólo es posible con un juego de esperanza matemática positiva, o favorable para el jugador. De ahí la importancia de jugar con la EM de nuestro lado, y el motivo por las que las peñas que no lo hacen fracasan en el largo plazo (salvando evidentemente casos extraordinarios de golpes de suerte).

Pero veamos qué ocurre con la misma simulación de nuestra planilla, si en lugar de jugar en un juego favorable para el jugador, lo hacemos en un escenario desfavorable.

En la tabla de la imagen de abajo he cambiado el coste del juego de las cajas de 1 a 2€, lo que bastaría para que nos encontrásemos en pérdidas en el largo plazo de acuerdo a la fórmula de la esperanza matemática.

Pero recordemos primero la fórmula de la EM:

Donde las ‘x’ serán los posibles beneficios de cada suceso y ‘P’ la probabilidad de que se den en cada caso, y que traducido a nuestro juego quedaría en el caso de 1€ por tirada:

Lo que nos da una cifra positiva o favorable para el jugador. Y en el segundo caso:

Un valor negativo de -0,33, o desfavorable para el jugador.

Y así quedaría la evolución de la tabla para un coste de 2€:

Observamos ahora un lento declive de nuestra esperanza de ganar al juego en el largo plazo. De hecho, si simulásemos suficientes tiradas, veríamos cómo la probabilidad de encontrarnos en beneficios a un tiempo indefinido tendería a cero en esta nueva versión con un coste superior al inicial.

Conclusiones

Si el lector ha conseguido superar las partes más densas del artículo, y ha llegado hasta este punto, puede ya haber llegado a ciertas conclusiones.

La primera, y más importante, es que se debe contar con una esperanza matemática positiva para mantener una subida sostenida en el tiempo de la probabilidad de rentabilizar la inversión. La estrategia de las peñas que juegan a favor de la esperanza matemática, varía respecto a las que no lo hacen y los peñistas suelen valorar más estar cerca de un 14 de 400€ que de un 12 de 4.000. A menudo el alcance de la memoria es corto, y la mayoría se conforma con recuperar unos euros con la condición de que sea algo frecuente. Tampoco resulta extraño que un particular, o una peña de muy bajo presupuesto acierte más con un puñado de columnas que una gran peña con miles que sigue un sistema rentable. El trabajo del gestor es por tanto doble. Por un lado debe hacer un buen trabajo de selección siguiendo unos principios matemáticos veraces, y por otro mantener la confianza de sus socios. Jugar con la EM de nuestro lado se convierte en consecuencia, en un acto de honestidad.

También he mencionado en este artículo, que no es la misma maduración la de una jugada de apenas 300 columnas a otra de varios miles, aunque ambas mantengan la EM como premisa. La maduración de una jugada holgada garantiza recuperar la inversión en unos tiempos mucho más breves que la primera, por lo que participar en una peña pro EM con un buen presupuesto resulta mucho más atractivo que hacerlo en una peña con una recaudación discreta.

Otra cuestión importante es que las garantías nunca alcanzarán, al menos matemáticamente, un 100% de seguridad de recuperar la inversión aún en el largo plazo. La infinitesimalidad del modelo nos dice, que siempre podemos llegar a ser más desafortunados, y que dependemos de la mera suerte en un grado mayor del que podamos imaginar.

Por este mismo motivo de infinitesimalidad, al menos en mi opinión personal, no cabe hablar del drawdown del modelo, o inversión necesaria, ya que probabilísticamente siempre existirá alguna simulación, o una serie de jugadas reales, con un resultado más desalentador que la previa, si bien podemos movernos por él con un cierto grado de confianza.

En resumen, el tamaño importa, y la suerte siempre será determinante en nuestro devenir.

Compartir

Comentarios

También te puede interesar

La metodología de la esperanza matemática, o EM, establece una...
La metodología de la esperanza matemática, o EM, establece una...
Finalizada la temporada queremos hacer una radiografía de la misma,...
La metodología de la esperanza matemática, o EM, establece una...
La metodología de la esperanza matemática, o EM, establece una...
Finalizada la temporada queremos hacer una radiografía de la misma,...